COMPONENTES DE UN VECTOR

A continuación una animación para estudiar y jugar sobre la suma, resta y componentes de un vector en un plano cartesiano

Animación para estudiar los vectores. Haz click sobre ella

Cálculo del las componentes de un vector

Como no hemos dado cuenta para sumar o restar y operar con los vectores es necesario escribirlo en sus componentes, para ello utilizaremos las proporciones trigonométricas.

Entonces al aplicar estas proporciones tenemos para el vector A que:

• Componente x es 5 cos 30
• Componente y es 5 sen 30
• El vector A según sus componentes es
  
  

Definimos el producto punto o producto escalar de a y b,y lo escribimos a·b , como el número real

Recordemos que:

cos = ady / hip

sen = op / hip

tg = op / ady

Cálculo de la dirección de un vector

Dibujar el siguiente vector: A = (3,-2)

Al observar el dibujo del vector A, nos podemos dar cuenta que:

* 3i sumado con -2j da como resultado el vector A.

* El ángulo con respecto al eje +x, en este caso está dado por la tg⁻¹ 3/2, el cual nos da como resultado un valor de 56,3º. Para ello debe tenerse en cuenta que se está trabajando en el cuarto cuadrante por lo tanto si nos damos cuenta el denominador debe ser negativo, sin embargo no lo colocamos para el cálculo del ángulo, pero si sabemos que estamos trabajando en el cuarto cuadrante. LA CALCULADORA SIEMPRE ENTREGARÁ LOS ÁNGULOS CON RESPECTO AL EJE X, LOS SIGNOS SÓLO DARÁN EL CUADRANTE. (ver figura 2)

Producto vectoriales

Producto escalar

Supongamos que tenemos dos vectores a y b en R³ y queremos determinar el ángulo entre ellos, esto es, el menor ángulo que forman a y b en el plano que ambos generan.

Definimos el producto punto o producto escalar de a y b, y lo escribimos a·b , como el número real que:

Una forma equivalente de definir el producto escalar entre dos vectores en un espacio euclídeo corresponde al producto de sus módulos por el coseno del ángulo menor que forman. Esta notación es independiente del sistema de coordenadas elegido, por tanto, también de la base del espacio vectorial que escogemos.

Se deduce del teorema de Pitágoras que la longitud del vector a= a1 i + a2 j + a3 k  es:

Propiedades del producto escalar

Producto Cruz

Sean dos vectores A y B en el espacio vectorial R³ ^. El producto vectorial entre ellos da como resultado un nuevo vector C. El producto vectorial se denota mediante A x B, por ello se lo llama también producto cruz. También se puede definir de una manera más sencilla  en término de sus módulos donde: 

donde n es un vector unitario y ortogonal a los vectores A y B y su dirección está dada por la regla de la mano derecha.

Regla de la mano derecha: Empuñe la mano y estire el dedo pulgar. Oriente los dedos empuñados en dirección del ángulo J (desde A hasta B), entonces el pulgar indica la dirección y sentido de J.

Producto cruz en forma matricial

Algunas Propiedades Matemáticas

¿Qué significa geometricamente el producto cruz?

La magnitud del producto vectorial o producto cruz como se le conoce, es igual al área del palelógramo formado por los dos vectores, o es igual al doble del área del triángulo formado con su resultante. Esto puede verse en la figura, en la que se muestra que:

Problema

Sean A y B dos vectores unitarios en el plano xy que forman ángulos -a y b con el eje x, respectivamente. Evalúe el producto cruz de estos vectores de dos maneras, una vez usando la definición y la segunda vez usando la expresión en términos de las coordenadas cartesianas, y de esta manera encuentre una expresión para sin(a + b).

Como se observa en la figura el ángulo entre los dos vectores es (a + b)  luego: